第五節 從皮亞諾序數公理出發論證先天易是完備的二進位制
邵雍數學學派發現並廣泛使用二進位制是不必費多少筆墨就能說清楚的事實,本文的主要目的在於從序數公理出發論證邵子先天易是完備的二進位制序數體系。序數體系的建立是抽像數學的基礎。邵子先天易是第一個有明確定義的序數體系,也就是第一個抽像數學體系。
自然數的概念在數學上一直被當做最明顯,最基本的概念來應用,直到上世紀末,在數學的公理化方法發展的影響下,才提出「自然數是什麼」的問題。基於自然數的兩種功能層次,即表達個數的概念和表達順序的概念,19世紀末出現了著名的康托爾基數公理和皮亞諾序數公理,從數學邏輯的角度對什麼是個數和什麼是順序號作出定義。
大家都知道,個數和順序都是顯而易見的概念。但從文明發展的角度來說,異同概念的出現是理性的起點,個數概念的出現是一個巨大進步,順序概念的出現又是一個巨大的進步。對個數(基數)和順序(序數)作出規範定義將大大方便文明史的研究,也有助於抽像數學本身的發展。
基數就是個數,是最原始的、很直觀的數的概念,判斷掌握基數概念的標準是只需有一一對應地數個數能力,尚不要求形成整體意識,也不要求有一般的比較概念。自然數的基數理論,即康托爾基數公理,是以集合和一一對應的概念為基礎來定義的。由於在定義中不能隱含順序概念在裡面,使用集合的概念來定義是非常巧妙的,但也相當拗口。
給定兩個集合A、B,如果存在一個規則f,對A中的每一個元素a,在B中唯一確定b(即a在f下的像),而B中任一元素b均由A中某一相應元素a唯一確定,那麼就說f是A到B的一個一一對應。存在一一對應的兩個集合稱為等價的,取定一個集合A,把所有與A等價的集合放在一起,作成一個集合的類W,W中所有集合所共有的屬性稱為A的基數,簡言之,類W本身就稱為A的基數。集合的基數實際上就是集合中元素的個數。
自然數的序數理論是利用兩個的基本概念第一個(first)與下一個(next)以及四個公理來定義的。第一個通常可以記為1,不過不如記為n0更有普遍意義。所謂自然數(序數),是指滿足以下性質的集合N中的元素:
1)n0是N的一個元,它不是N中任何元的後繼者,若n的後繼者用n+來表示,則對於N中的任意元n, n+不等於n0。(註:n0是指定的順序起點而不作證明)。
2)對於N中任意元n, 存在而且僅存在一個後繼者n+。
3)對N中任何兩個元n和m, 若n+=m+,則n=m.
4)N的一個子集M,若具有以下性質:
n0屬於M;
對於任意m屬於M,必有m+也屬於M;則M=N
皮亞諾公理指出,要建立一個順序概念首先要選定一個順序的起點「第一個」(first),其次需要規定一個順序操作「下一個」(next)或稱為「後繼者」,有了這兩個概念,就能定義一個序列,也就是序數。序數概念是現代數學的基礎概念,具有廣泛的適用性。
下面以排隊為例對皮亞諾公理進行說明,理論上隊列可以無窮長。其中
公理一是說:第一個是絕對的,不能存在「第一個」的上一個,比如排隊時你排在前面第一個,就意謂著隊列中沒有比你排在更前面的。
公理二是說:隊列中任何人的下一個必有但也只能有一個,不能多個。
公理三是說:對任何人來說,如果他後面一個位置的序號已經知道(確定),那麼他本身的序號也就定了。
公理四是說:假如原來隊列的第一個另排一行,第一個的「下一個」,「下一個」的「下一個」全部依次跟過來,那麼新隊列和老隊列是等價的。
這樣定義的自然數稱序數,以區別前者定義的基數,是專門針對「第幾」這個問題而定義的。基數起於感性量的簡單同異比較,用於描述感性的、形象的數量,而序數是基數的進一步抽像,是思維進一步發展的產物,用於描述理性的、抽像的關係量。
各種已知的古代數系,基本上都經過從基數到序數的過程,首先用以表示「幾個」,然後才抽像出表示「第幾個」的涵義。但除了先天易之外,還沒有出現經過定義的序數體系。
專門把表示順序的序數與表示個數的基數從基本定義上區分開來是數學向抽像化發展的要求,也是抽像數概念產生的基礎。邵子先天易就是專門定義的序數體系。為敘述方便,用Y表示先天易體系。下面從皮亞諾四個公理出發逐一論證說明先天易符合序數定義,是從序數的角度來定義的。
有明確的順序起點定義,先天易從乾(太極)開始演化,是序列的起點。
有明確的次序定義,正如朱熹所說的「其先後多寡,既有次第而位置分明,不費詞說,」、「全是天理,自然挨排出來」、「無不曾」、「亦不容」、「智力添助」。又是「未知其所窮」的「有放無收」的系統,這就是說,系統Y是依多寡自然挨排即按多寡一個緊挨著一個排出來的排列,元素與元素之間的先後次序是固定不變的,元素的個數又是無窮的,故每個元素y必有固定的唯一的後繼者y+。
根據Y系統上的特徵,每一個後繼者y+,前面必有唯一固定的元素y。這是顯然的。
設W是Y的一個子集,即W中的元素全部是Y中的元素,
假定I:乾一(y0)是W中的元素;
II:W中任意元w,其後繼者w+也是W中的元素。
則W與Y等價。
證明:從前提W是Y的一個子集出發得知,W中每一個元素都是Y中元素,不存在屬於W而不屬於Y的元素。
從假定一得知Y序列的第一個元素y0也是W中的元素,Y中不可能有在y 0前面的元素,而W中的元素都是Y中的元素,因此W中y 0也是第一個。
根據假定二,W中任意元素的後繼者都是W中的元素,從y0出發逐一加一的生成的元素都是W中的元素,同時這本來就是Y的定義,所以Y是W的子集。又前提中W是Y的子集,所以W與Y等價。
由於進位制是自然數自身表達的模式,先天易系統Y是自然數序數系統,在內部結構上,任意大數均表示為奇偶兩個符號的迭加,並利用非零符號所在相對位置的不同表示位值的不同。所以先天易系統Y是二進位制自然數體系。為了脫離數量與單位等具體特徵的約束,先天易從單純序數的角度來構建自然數序列,開抽像數學之先聲,它的意義必將逐步得到人們的重視。